O objetivo de Escher, escreveu o Sr. de Rijk, era criar uma protuberância cíclica “sem começo nem fim”. Para conseguir isso, Escher primeiro criou a distorção desejada com uma grade de linhas entrecruzadas, organizando-as de modo que, movendo-se no sentido horário em torno do centro, elas gradualmente se afastassem. Mas o truque não funcionou muito bem com linhas retas, então ele as curvou.

Então, começando com uma representação não distorcida da cena do cais, ele usou essa grade curva para distorcer a cena, um pequeno quadrado de cada vez.

Depois de examinar a grade, o Dr. Lenstra percebeu que levado ao seu limite lógico, o processo teria gerado uma imagem que se repete continuamente, uma imagem dentro de uma imagem e assim por diante, como um conjunto de bonecas russas de madeira aninhadas.

Assim, a extensão lógica da imagem não distorcida com a qual Escher começou teria mostrado um homem em uma galeria de arte olhando para uma gravura na parede de uma cena no cais contendo uma cópia menor da galeria de arte com o homem olhando para uma gravura na parede, e assim por diante. A extensão lógica da ”Print Gallery,” também se repetiria, mas de uma forma mais complicada. À medida que o espectador aumenta o zoom, a imagem se projeta para fora e gira sobre si mesma antes de se repetir.

Depois que o Dr. Lenstra compreendeu essa estrutura básica, a tarefa ficou clara: se ele conseguisse encontrar uma fórmula matemática exata para o padrão repetitivo, teria uma receita para fazer tal imagem com o ponto faltante preenchido.

Medindo com uma régua e um transferidor, ele foi capaz de estimar as protuberâncias e as torções. Mas para calcular a distorção com exatidão, ele recorreu às curvas elípticas, o tema quente da pesquisa matemática que esteve por trás da prova do último teorema de Fermat.

O Dr. Lenstra sabia que só poderia aplicar a teoria da curva elíptica depois de ler uma frase crucial do livro do Sr. Por razões estéticas, explica o Sr. de Rijk, Escher modelou sua grade de tal forma que “os pequenos quadrados originais pudessem manter melhor sua aparência quadrada”. Caso contrário, a distorção da imagem tornar-se-ia demasiado extrema, manchando elementos individuais, como janelas e pessoas, ao ponto de já não serem reconhecíveis.

”No início, segui muitas pistas falsas, mas essa frase foi a chave,” Dr. Lenstra disse. ”Depois de ler isso, eu sabia exatamente o que estava acontecendo.”

Escher estava criando uma distorção com uma propriedade matemática bem conhecida: se observarmos pequenas regiões da imagem distorcida, os ângulos entre as linhas foram preservados. ”Mapas conformes,” como essas distorções são conhecidas, foram extensivamente estudadas por matemáticos.

Na prática, eles são usados ​​em mapas de projeção de Mercator, que espalham a superfície arredondada da Terra sobre um pedaço de papel de tal forma que, embora as massas de terra sejam ampliadas perto dos pólos, as direções da bússola são preservadas. Princípios conformes também são usados ​​para mapear a superfície do cérebro humano com todas as dobras achatadas.

Sabendo que a distorção de Escher seguia este princípio, o Dr. Lenstra foi capaz de usar curvas elípticas para converter sua aproximação grosseira da distorção em uma receita matemática exata. Ele então recrutou um colega de Leiden, Bart de Smit, para gerenciar o projeto e vários estudantes para ajudá-lo.

Primeiro, os matemáticos tiveram que desvendar a distorção de Escher para obter a imagem com a qual ele começou. Um estudante, Joost Batenburg, escreveu um programa de computador que usava a imagem e a grade de Escher como entrada e revertia o procedimento tedioso de Escher.

Uma vez desfeita a distorção, a imagem resultante ficou incompleta. Parte do espaço em branco no centro da ”Galeria de Impressão” traduzido em uma faixa borrada em espiral na parte superior da imagem. Assim, os pesquisadores contrataram um artista para preencher a faixa com prédios, calçada e água no espírito de Escher.

Começando com esta imagem completa, o Dr. de Smit e o Sr. Batenburg usaram seu programa de computador de uma maneira diferente, para aplicar a fórmula do Dr.

Finalmente, eles alcançaram seu objetivo: uma versão completa e idealizada da ”Galeria de Impressão de Escher.”

No centro da versão do matemático, a misteriosa mancha em branco é preenchida com outra cópia menor da cena distorcida do cais, quase virada de cabeça para baixo. Dentro dela há uma cópia ainda menor da cena, e assim por diante, com a infinidade restante de pequenas cópias desaparecendo no centro.

Como a distorção de Escher não era perfeitamente conforme, a interpretação do matemático também difere ligeiramente da sua em outros aspectos. Longe do centro, por exemplo, as linhas de alguns edifícios curvam-se no sentido oposto.

Os investigadores também usaram o seu programa para criar variações da ideia de Escher: uma em que o centro se projeta na direção oposta, e até uma versão animada que gira para fora à medida que o observador aparentemente cai no centro. Depois de uma palestra recente proferida pelo Dr. Lenstra em Berkeley, o público permaneceu sentado por vários minutos, hipnotizado pela cena em espiral.

Embora o Dr. Lenstra tenha resolvido o mistério da mancha em branco e muito mais, uma questão permanece. Escher sabia o que pertencia ao centro e optou por não representá-lo, ou deixou em branco porque não sabia o que colocar ali?

Como homem da ciência, o Dr. Lenstra disse que achava impossível entrar na mente de Escher. ”Acho muito útil identificar Escher com a natureza,” ele disse, ”e eu com um físico que tenta modelar a natureza.”

De Rijk, agora com 70 anos, disse acreditar que Escher sabia que sua imagem poderia continuar em direção ao centro, mas não entendia exatamente o que deveria ir para lá. ”Ele ficaria surpreso ao perceber que sua impressão ainda era muito mais interessante do que sua intenção,” disse o Sr. de Rijk. Ele acrescentou que embora soubesse de outro esforço para preencher o quadro de Escher, este não se baseava na compreensão da matemática por trás dele.

”Ele sempre se interessava quando alguém usava suas gravuras como base para estudos e aplicações adicionais”, disse o Sr. de Rijk. ”Quando eram muito matemáticos, ele não os entendia, mas sempre ficava orgulhoso quando os matemáticos faziam algo com seu trabalho.”