Koff, junto com o violinista Robert Mann, o violista Raphael Hillyer e o violoncelista Arthur Winograd, formaram o Juilliard String Quartet em 1946, a pedido do compositor William Schuman, que era presidente da Juilliard School.

O conjunto foi o primeiro quarteto residente em um conservatório americano e era conhecido pelo apoio à música contemporânea. Fundado em 1946, o Quarteto Juilliard é amplamente considerado o primeiro quarteto de cordas americano a atingir grande status internacional. Além de Winograd, seus membros originais eram os violinistas Robert Mann e Robert Koff e o violista Raphael Hillyer.

A missão de Schuman para o conjunto era defender a música contemporânea como parte de um repertório completo e, como quarteto residente da Juilliard, treinar conjuntos de câmara mais jovens. Embora nenhum dos músicos originais permaneça na formação (o último a sair foi o Sr. Mann, que se aposentou em 1997), por quase seis décadas o grupo manteve sua afiliação à Juilliard School e seu compromisso original com a nova música.

Como segundo violinista original do grupo, Koff ajudou a moldar seu som quando o Juilliard Quartet estava se estabelecendo como o conjunto de câmara americano preeminente, e ele tocou em muitas das gravações clássicas do grupo, incluindo sua primeira passagem pelos seis quartetos de Bartok, que foi gravado em 1950 e recentemente reeditado pela Pearl, um selo histórico inglês. Koff deixou o grupo em 1958, quando se tornou diretor de atividades performáticas na Brandeis University.

Koff nasceu em Los Angeles em 12 de fevereiro de 1919 e se formou no Conservatório de Oberlin em 1941, e enquanto estava no programa de pós-graduação da Juilliard estudou com Hans Letz (1887-1969). Ele recebeu um diploma de pós-graduação da Juilliard em 1946. Durante seus anos no Juilliard Quartet (e no corpo docente da Juilliard), ele também lecionou nas escolas de música de verão em Aspen e Tanglewood.

Na Brandeis, o Sr. Koff exerceu diversas funções administrativas e de desempenho. Na década de 1960 foi violinista e diretor dos Brandeis Chamber Players e regente da orquestra de câmara da escola. Ele tocou no Brandeis String Quartet de 1960 a 1970. Ele também foi presidente do departamento de música da Brandeis de 1969 a 1976 e se aposentou em 1983.

Koff ensinou e dirigiu programas de música de câmara na Universidade de Tel Aviv em meados da década de 1970 e início dos anos 80, e em Harvard em 1977.

Além de atuar e lecionar, ele deu palestras sobre música em uma série de 40 episódios na televisão WGBH em Boston. Ele também foi o apresentador de uma série de rádio em seis partes dedicada aos quartetos Haydn para WGBH.

Robert Koff faleceu na terça-feira 22 de fevereiro de 2005, em sua casa em Lexington, Massachusetts.

Sua família disse que ele estava doente há dois anos.