CÁLCULO

Um dos primeiros desdobramentos da geometria analítica é o cálculo. Criado por Leibniz e Newton, no século XVII, é utilizado para analisar e prever as variações no comportamento de forças ou de coisas móveis. Permite equacionar e representar graficamente a órbita dos planetas, a trajetória de uma bomba ou de um corpo em queda, a variação de intensidade de um som ou a acumulação de pressão nos pilares de uma ponte. O cálculo é uma das ferramentas utilizadas por Newton na construção de sua teoria da gravitação universal.

Cálculo diferencial e integral – O conceito central do cálculo é a chamada “convergência para um limite”: um valor desconhecido pode ser medido por aproximações sucessivas e cada vez menores, até aproximar-se do zero. Para fazer essa medição, Leibniz e Newton inventam duas novas operações, diferenciação e integração, as primeiras que surgem depois das operações fundamentais – adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação – conhecidas desde a Antiguidade. A diferenciação é o processo para determinar a razão, ou quociente, segundo a qual uma variável muda em relação a outra em um determinado momento. Para efetuar a diferenciação, os matemáticos dividem a pequena mudança de uma variável pela pequena mudança da outra, até chegar a valores próximos ao zero. A integração faz o processo inverso: parte do quociente de variação e chega à equação em que as variáveis mudam. O cálculo diferencial e integral transforma-se em um instrumento útil para representar diferentes forças da natureza. Newton aplica esses processos ao estudo da gravidade: demonstra que um objeto em queda livre tem um movimento variável que aumenta segundo uma razão constante. Chama essa razão de aceleração da gravidade, e o que provoca a queda do corpo chama de força da gravidade.

Probabilidades e estatística – A necessidade de medir a margem de incerteza nos cálculos que envolvem seqüências de eventos leva à teoria das probabilidades. A idéia de controlar o acaso e prever as chances de acertar ou errar surge nas mesas de jogos de azar. Um inveterado jogador de dados francês, o cavalheiro de Méré, propõe para Blaise Pascal, um dos grandes matemáticos e filósofos do século XVII, o seguinte problema: como dividir os lucros de um jogo de dados que precisa ser interrompido. Pascal resolve o problema junto com Pierre de Fermat, outro gênio de seu tempo, e abre um novo ramo da matemática: teoria das probabilidades e análise combinatória, bases de toda estatística e das modernas técnicas de pesquisa. A teoria das probabilidades é usada tanto para prever as chances de um jogador ganhar na loteria, como para interpretar experiências realizadas pelos físicos dentro dos aceleradores de partículas.

Teorema de Fermat – Pierre de Fermat (1601-1665) é um importante matemático do século XVII. Chega à geometria analítica na mesma época que Descartes, participa da construção da teoria das probabilidades e desenvolve a teoria dos números. Por volta de 1637, formula um teorema que se torna famoso: considerando a equação xn + yn = zn, Fermat afirma que não existem valores inteiros para x, y e z que a satisfaçam quando n é um número inteiro maior do que 2. As anotações de Fermat perdem-se. A demonstração de seu teorema tem sido um dos desafios enfrentados por grandes matemáticos e até hoje não resolvido. A última tentativa conhecida é a do matemático inglês Andrew Wilesde. Em 1993, ele anuncia, em Cambridge, ter realizado esse desafio. Pouco tempo depois, reconhece que seu trabalho também não está completo.

Mecânica de Laplace – Na segunda metade do século XVIII, os acadêmicos franceses Joseph Louis Lagrange e Pierre Simon de Laplace reúnem o cálculo, as técnicas de lidar com variações periódicas e os métodos da teoria das probabilidades, e elaboram uma forma avançada de álgebra, a chamada análise superior. Com esse instrumento, formulam teorias gerais sobre a mecânica comum e celeste, consolidam conhecimentos iniciados por Galileu e Newton e abrem caminho para a matematização de todos os ramos das ciências físicas. Membro da Academia Militar de Paris, Laplace teve Napoleão Bonaparte como aluno. Preso durante a Revolução Francesa de 1789, sua vida é poupada graças a seus conhecimentos e passa a calcular a trajetória das bombas para a artilharia francesa.

Geometria diferencial – Quando Carl Friedrich Gauss demonstra seu teorema geral da álgebra, em 1799, introduz também o conceito de números complexos, e descobre que essa nova categoria de números tem várias aplicações práticas. Os números complexos são compostos por um número real e por um múltiplo do número imaginário, E-1, como, por exemplo, 7 + 4 (E -1). Gauss inventa uma forma de expressá-los graficamente, a chamada geometria diferencial. Demonstra que os números complexos podem ser usados para representar vários fenômenos da natureza, como forças, velocidade e aceleração. Com isso, dá início a um novo campo de estudos, a análise vetorial, usada, por exemplo, para definir a trajetória de um corpo sujeito à influência de várias forças, como velocidade inercial e aceleração da gravidade.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) é um dos grandes matemáticos do século XIX. Menino prodígio comparável a Mozart, consta que aos 3 anos de idade já tinha boas noções de aritmética: ao acompanhar os cálculos feitos pelo pai para o pagamento de alguns empregados, detecta um erro nas contas. Na escola, aos 10 anos, surpreende seus professores pela agilidade nos cálculos. Ao receber a tarefa de somar todos os números de 1 a 100, responde rapidamente: 5.050. Provavelmente, percebera que todos os pares feitos com os números 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 até 50 + 51 sempre somam 101. A soma dos cinqüenta pares seria 50 x 101 = 5.050. No dia 30 de março de 1796, começa a escrever um “diário científico” em que anota suas descobertas. Este diário, só divulgado 43 anos após a sua morte, mostra que Gauss é um dos últimos gênios a dominar toda a matemática de seu tempo e que precede outros pesquisadores em vários campos. Ele também dedica-se à astronomia e à física e é o pioneiro da geometria não-euclidiana.